Bila panjang proyeksi vektor \( \vec{b} = \hat{i}-2\hat{j} \) pada vektor \( \vec{a} = x\hat{i}+y\hat{j} \) dengan \( x, y > 0 \) adalah 1, maka nilai \( 4x-3y+1 = \cdots \) (UMPTN 2004)
- 1
- -1
- 0
- 2
- 3
Pembahasan:
Misalkan \( \vec{p} \) adalah proyeksi vektor \( \vec{b} \) pada vektor \( \vec{a} \), maka kita peroleh berikut:
\begin{aligned} |\vec{p}| = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} \Leftrightarrow 1 &= \frac{(1,-2) \cdot (x,y) }{\sqrt{x^2+y^2}} \\[8pt] 1 &= \frac{x-2y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\[8pt] \sqrt{x^2+y^2} &= x-2y \\[8pt] x^2+y^2 &= x^2-4xy+4y^2 \\[8pt] 3y^2-4xy &= 0 \Leftrightarrow y(3y-4x) = 0 \\[8pt] y &= 0 \ \text{atau} \ 3y-4x = 0 \\[8pt] 3y-4x &= 0 \Rightarrow 4x-3y = 0 \\[8pt] 4x-3y+1 &= 0+1 = 1 \end{aligned}
Jawaban A.